伝達関数
目次
ラプラス変換
数式的理解
ラプラス変換とは、関数の表し方を変える方法です。数学的に言うと、時間領域の関数をs領域(複素領域)に変換する方法になります。
時間領域の関数f(t)に対して、ラプラス変換後の関数F(s)は次のように表されます。
\(F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt\) この変換をすることにより、現実の物理空間で起こっている事象(時間領域)をs領域から眺めることができるのです。
なぜラプラス変換をするのか
s領域に移動する最大の利点は、微積分の扱いです。
現実世界では微積分は煩雑で、PCのスペック頼りで近似解を出すのがやっと、ということもあります。しかしs領域においては微分はsの掛け算、積分は割り算で済んでしまうのです。
そのため、時間微分・積分が多用されるあらゆる物理事象を、ラプラス変換を行うだけで線形に扱うことが出来てしまうのです。
s領域
s領域は複素領域です。そのため
\(s = \sigma + j \omega\)
と表されます。ここで\(j\)は複素数です。
さらにここでオイラーの法則を使いましょう
\(e^{-j\omega t} = cos(\omega t) - j sin(\omega t)\)
これらを踏まえると、
\(e^{-st} = e^{-\sigma t} \dot (cos(\omega t) - j sin(\omega t))\)
と表されることが分かります。
ここで、\(\sigma\) 部分は減衰を、\(\omega\) 部分は振動を表している、という理解をすることができます。
そして、時間で無限大まで微分することにより、時間による応答の違いを無視し、最終的にどのような結果を返すのかに集中して関数を見ることができるようになるのです。
つまり、ラプラス変換を行うことにより、関数を減衰性能と周波巣に対する応答、という観点から見直すことが出来るのです。
伝達関数
伝達関数とは、出力のラプラス変換/入力のラプラス変換 です。要はブラックボックスの中身、ということですね。
後は授業でやってください。気が向いたら書き足します。